Cos’è un nodo in matematica? Viene definito nodo un’immersione del cerchio S1 nello spazio euclideo tridimensionale R3 (talvolta indicato anche come E3). A differenza dei nodi che incontriamo nella vita quotidiana, un nodo matematico è costituito da una curva chiusa, priva di estremità libere: si tratta di una “corda ideale” le cui estremità sono saldate insieme in modo permanente. Questo implica che i nodi matematici esistono all’interno di un sistema chiuso, e non possono essere sciolti semplicemente tirando le estremità. Due nodi si considerano equivalenti se sono “isotopici ambientali”, ovvero se esiste una deformazione continua dello spazio che trasforma uno nell’altro senza tagli, incollaggi o attraversamenti del filo. In termini topologici una ciambella e una tazza da caffè sono considerate equivalenti perché entrambi contengono un unico “buco”. Se si modella una ciambella di argilla, con un po’ di manipolazione si può trasformarla in una tazza, dimostrando così che hanno la stessa “topologia”. Questo tipo di equivalenza, chiamata omeomorfismo, implica che le trasformazioni coinvolte sono continue e reversibili.
Il nodo più semplice nella teoria dei nodi è il cosiddetto nodo banale (unknot o trivial knot), che corrisponde geometricamente a un semplice anello privo di intrecci. Due nodi sono considerati indistinguibili dal punto di vista topologico se possono essere trasformati l’uno nell’altro tramite una sequenza di isotopie ambientali, cioè deformazioni che preservano la continuità e la struttura del nodo. Poiché i nodi vivono nello spazio tridimensionale, spesso vengono rappresentati attraverso proiezioni bidimensionali su superfici piane, come un foglio di carta. Tuttavia, queste proiezioni dipendono dal punto di vista scelto: perciò nodi che sono topologicamente equivalenti possono apparire diversi nella loro rappresentazione grafica.
Nella teoria dei nodi, la chiralità indica se un nodo è distinguibile dalla sua immagine speculare: un nodo chirale non può essere deformato in modo continuo fino a coincidere con il suo speculare, mentre un nodo achirale sì. Questo concetto è centrale perché collega la topologia pura con fenomeni fisici e molecolari, inclusi i nodi chirali nelle biomolecole e nei materiali. Le isotopie ambientali sono il criterio matematico che permette di verificare questa equivalenza.
Uno degli obiettivi principali della Teoria dei Nodi è quello di riuscire a distinguere i vari nodi l’uno dall’altro. Immaginate di avere tra le mani una corda. La intrecciate, la annodate, la osservate da diverse angolazioni. A prima vista, ogni nodo sembra unico, ma c’è un modo per capire se due nodi — anche se appaiono diversi — sono in realtà lo stesso nodo sotto mentite spoglie? Sì, attraverso le Mosse di Reidemeister: tre operazioni che permettono di modificare la proiezione di un nodo, cioè la sua rappresentazione su un piano, senza alterarne la struttura profonda, ovvero ne modificano l’aspetto visibile, come quando si sposta una piega o si distende una grinza di un tessuto. Negli anni ’30, Reidemeister dimostrò per la prima volta in modo rigoroso l’esistenza di nodi distinti dal nodo semplice. Lo fece dimostrando che tutte le deformazioni possono essere ridotte a una sequenza di tre tipi di movimenti o Mosse di Reidemeister (o “movimenti di equivalenza”), detti (I) movimento di torsione (twist), (II) movimento di spinta (poke) e (III) movimento di scorrimento (slide). Il teorema di Reidemeister garantisce che le mosse I, II e III corrispondono all’isotopia ambientale (le mosse II e III da sole corrispondono all’isotopia regolare).
Si torce la corda, la si sposta leggermente, si elimina un incrocio superfluo. Il nodo sembra diverso, ma non lo è. Con abbastanza mosse di Reidemeister, si può trasformare una proiezione in un’altra e dimostrare che due nodi sono equivalenti — due volti della stessa entità annodata.
Se si vuol dimostrare che due nodi non sono equivalenti, tuttavia, le Mosse di Reidemeister non bastano. Si può provare per ore, poi una singola mossa in più (n + 1) rivela che i nodi, che sembravano diversi, sono in realtà identici. Per provare la non equivalenza si ricorre perciò agli invarianti: proprietà che restano immutate finché il nodo non cambia davvero. Sono come impronte digitali topologiche. Se due nodi hanno invarianti diversi, allora sono diversi nella sostanza. Un nodo a otto, ad esempio, avrà lo stesso invariante di qualsiasi altro nodo a otto. È un modo per orientarsi nel labirinto delle forme, per riconoscere l’identità dietro l’apparenza.
In Topologia un collegamento (link) è come un gruppo di fili intrecciati: ciascuno può essere distinto dagli altri, ma nessuno può essere separato senza tagliare almeno uno dei fili. Immaginate una recinzione a maglie metalliche: ogni anello è autonomo, eppure tutti sono legati in un unico disegno. Un nodo è semplicemente un collegamento con un solo elemento: un filo che si avvolge su sé stesso, formando un intreccio chiuso. I fili sono le lunghezze teoriche che compongono questi nodi: frammenti di una stringa ideale, tracciata nello spazio. Come nei nodi quotidiani, anche quelli matematici nascono dagli incroci tra i fili. Un incrocio superiore (K⁺) si verifica quando un filo passa sopra un altro; un incrocio inferiore (K⁻) quando lo attraversa da sotto. Per analizzare un nodo, si può scegliere un punto di partenza e seguirne il percorso: ogni incrocio superiore vale +1, ogni incrocio inferiore vale −1. La somma algebrica di questi valori è detta torsione (writhe) del nodo — una misura dell’avvolgimento visivo del filo.
Un altro strumento utile è il numero di scioglimento (unknotting number): indica quante modifiche minime servono per trasformare un nodo in un nodo banale (unknot). Più alto è questo numero, più complesso è il nodo — più difficile sarà “disfarne” la trama.
Un altro invariante affascinante è la colorabilità (colorability): la possibilità di assegnare colori (o etichette numeriche) agli archi del diagramma del nodo, seguendo regole precise agli incroci. Questa proprietà è invariante sotto le mosse di Reidemeister, e quindi dipende solo dal tipo di nodo, non dalla sua rappresentazione. Pertanto se un nodo è tricolore e un altro no, allora non sono equivalenti. Il nodo banale (unknot) non è tricolore, quindi ogni nodo tricolore è non banale.
Infine, i nodi si possono raggruppare in nodi addomesticati (tame) — quelli che possono essere rappresentati come curve chiuse semplici nello spazio tridimensionale, equivalenti a catene poligonali finite come il nodo trifoglio — e in nodi selvaggi (wild) che, invece, sfuggono a questa rappresentazione: sono intrecci che si annidano in pieghe infinitesimali, come fili ribelli che sfuggono al telaio.
La tabella di Rolfsen (a in Fig. 7) mostra i primi 36 esempi di collegamenti primi, cioè configurazioni di cerchi chiusi nello spazio tridimensionale che non possono essere scomposti in collegamenti più semplici. Ogni figura, dunque, rappresenta un diverso modo in cui più componenti possono essere disposte e intrecciate e viene accompagnata da una notazione che ne descrive la struttura. Tra i collegamenti più curiosi (esempi b nella fig. 7) ci sono quelli di Brunnian, in cui tutte le componenti sono essenziali: se si rimuove anche solo una di esse, l’intero intreccio si scioglie e diventa banale. Il primo esempio è il famoso intreccio Borromeo, formato da tre cerchi che, presi a coppie, non sono direttamente collegati, ma insieme formano una struttura non separabile. È un esempio perfetto di come la complessità possa emergere dalla cooperazione tra elementi semplici ed è un simbolo antico di unità nella diversità.
Una delle applicazioni più importanti della Teoria dei Nodi si ha nella Topologia del Dna. Affinché il Dna possa essere replicato, sono necessari degli enzimi che srotolino il Dna presente nel nucleo e ne facciano una copia. Ciò è tuttavia difficile, poiché il Dna non è organizzato in alcun modo all’interno del nucleo. Attraverso il superavvolgimento, il Dna si avvolge su sé stesso in modo simile al cavo di un telefono. In questo modo, la lunghezza della molecola si accorcia, consentendo un immagazzinamento più efficiente nel nucleo. Comprimendo il filamento in questo modo, nessuna delle informazioni necessarie al suo interno viene persa. Il superavvolgimento può portare un filamento di Dna a finire in un groviglio annodato. Una volta annodato, è impossibile che interagisca con gli enzimi responsabili della sua replicazione.
Enzimi come le topoisomerasi e le ricombinasi gestiscono i nodi e i grovigli del Dna, e la teoria dei nodi fornisce un quadro di riferimento per modellare questi processi. Ad esempio, per sciogliere del Dna in un nodo a forma di otto (Figura 10 a) e trasformarlo in un nodo semplice, un enzima dovrebbe modificare solo un incrocio superiore in un incrocio inferiore. Dovrebbe quindi utilizzare le mosse di Reidemeister per rendere il nodo semplice simile a un anello (Figura 10 b).
Se ora analizziamo le figure del Ripiglino da un punto di vista topologico, vediamo che esse sono tutte casi di “nodo banale”. L’esistenza di una figura è legata alle dita: senza di esse gli intrecci si dissolvono in un anello senza bisogno di tagliare delle parti e rincollarle. La capacità di generare e replicare centinaia di figure del Ripiglino, rappresenta implicitamente la capacità di esplorare lo spazio logico delle variazioni sul nodo banale. Per imparare a muovere i fili attraverso torsioni, rotazioni e scorrimenti è necessaria una certa dimestichezza con la geografia corporea e l’orientamento spaziale. Per decodificare le istruzioni, infatti, non solo si devono conoscere i nomi delle dita e quale sia la mano destra o sinistra, ma anche il significato di sopra e sotto, vicino e lontano, dentro e fuori. Bisogna lavorare ritmicamente con coordinazione e concentrazione e avere la destrezza mentale e fisica per mantenere la corda in posizione mentre si eseguono i passi che portano alla figura finale.
Chi ancora naviga nel mondo della scuola sa in quale infimo livello si piazzino mediamente gli studenti italiani in matematica. Poiché il gioco delle Fclc (figure con la corda) consiste in una serie di procedure, potrebbe essere un’idea utilizzarlo per introdurre il concetto di algoritmo. Formulando le istruzioni con un linguaggio simbolico, il Ripiglino può diventare un valido spunto per muovere i primi passi nel coding, per introdurre la topologia e la teoria dei nodi. La costruzione di Fclc complesse comporta inoltre anche il conteggio e il monitoraggio di anelli e intrecci, coinvolgendo la matematica discreta.
L’etnotopologia e la destrezza manuale sviluppate dalle Fclc potrebbero aver catalizzato l’evoluzione di altre tecnologie essenziali legate alle corde, come l’annodatura, la tessitura e la lavorazione a maglia, che seguono anch’esse catene operative distintamente algoritmiche.
In copertina: differenza tra un nodo come lo si intende nella vita di tutti i giorni e il nodo matematico.
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Articolo di Flavia Busatta
Laurea in Chimica. Tra le fondatrici di Lotta femminista (1971), partecipa alla Second World Conference to Combat Racism and Racial Discrimination (UN Ginevra 1983) e alla International NGO Conference for Action to Combat Racism and Racial Discrimination in the Second UN Decade, (UN Ginevra 1988). Collabora alla mostra Da Montezuma a Massimiliano. Autrice di vari saggi, edita HAKO, Antrocom J.of A.
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